Medidas de dispersão

As medidas de dispersão indicam como os valores de um conjunto distribuem-se (dispersam) em relação a seu ponto central (média). Quanto maior apresentar-se o intervalo entre os valores extremos de um conjunto, menor é a representatividade estatística da média, pois os valores em observação distanciam-se desta medida central.

As principais medidas de dispersão a serem estudadas neste item, que apresentam larga aplicação prática na avaliação de risco, são o desvio-padrão, a variância e o coeficiente de variação.

Desvio-padrão e variância

São as mais importantes e utilizadas medidas de dispersão. O desvio-padrão é representado por σ (sigma), quando calculado de dados de uma população, e por S, quando obtido da amostra (estimativa média da população). Essa medida visa medir estatisticamente a variabilidade (grau de dispersão) de um conjunto de valores em relação a sua média.

O desvio-padrão de um conjunto de números: X₁,X₂,X₃,...,X_n de uma amostra de n elementos é representado por:

                                                                

        

         __
Onde: X = média aritmética da amostra de n elementos

          __                                                                                                         __

  Xi – X = desvio de cada um dos números Xi em relação à média da amostra (X).

O desvio-padrão da população é obtido pela expressão:

                        

           _

Onde: X = representa a média aritmética da população, e Xi cada um dos elementos que a compõem.

Deduções estatísticas indicam que se for usado (N-1) como denominador do cálculo do desvio-padrão de uma amostra, apura-se uma estimativa de dispersão mais representativa da população, notadamente quando o número de elementos ficar abaixo de 30 (N<30).

A variância por outro lado, é definida como sendo o quadrado do desvio-padrão. É identificada por σ² e S² , respectivamente variância de população e variância de amostra. De outra maneira, pode-se dizer que o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância.

Coeficiente de variação – CV

Enquanto o desvio-padrão (e a variância) mede o grau de dispersão absoluta dos valores em torno da média, o coeficiente de variação, geralmente expresso em porcentagem, indica a dispersão relativa, ou seja, o risco por unidade.

Essa medida é obtida pela simples relação entre o desvio-padrão e a média aritmética da amostra (ou população), ou seja:

            ___S__

CV=         __    

                 X

            __σ___

CV=        __

                 X

A grande utilidade do coeficiente de variação é permitir que se proceda a comparação mais precisas entre dois ou mais conjuntos de valores. Por exemplo, uma empresa pode estar testando a resistência de dois tipos de molas a serem utilizadas em seu processo de fabricação. O primeiro tipo foi testado, em média, 1.600 vezes, com sucesso, apresentando um desvio-padrão de 150. O segundo tipo de mola atingiu uma média de teste com sucesso de 1.000 vezes, com um desvio-padrão de 140. Apesar de as duas situações apresentarem dispersões absolutas bastante próximas (desvios-padrões quase iguais), é nítido que o primeiro tipo de mola, com 600 testes positivos a mais, obteve nível de sucesso bem superior.

Fonte: Assaf  N.,Alexandre. Mercado Financeiro. 9. ed. São Paulo: Atlas, 2010